Dependencies

Joukko \(N \subseteq \mathbb {R}^2\) on nollajoukko jos jokaiselle \(\epsilon \mathbin {{\gt}}0\) on olemassa (mahdollisesti äärellinen) jono suorakaiteita \(R_i = [a_i, b_i] \times [c_i, d_i]\) jotka peittävät \(N\) siten että

Joukko \(A \subseteq \mathbb {R}^n\) on kompakti, jos jokaisella jonolla \((x_i)\), missä \(x_i \in A\) kaikilla \(i\), on sellainen suppeneva osajono \((x_{i_j})\) että \(\lim _{j \to \infty } x_{i_j} \in A\).

Joukko \(A \subseteq \mathbb {R}^n\) on suljettu, jos jokaisella suppenevalla jonolla \((x_i)\), missä \(x_i \in A\) kaikilla \(i\), pätee \(\lim _{i \to \infty } x_i \in A\).

Joukko \(A \subseteq \mathbb {R}^n\) on kompakti jos ja vain jos se on rajoitettu ja suljettu.

Olkoon \(A \subset \mathbb {R}^n\). Tällöin

• \(\partial A\) on suljettu ja

• \(\overline{A}\) on suljettu.

Rajoitettu funktio \(f\) on Riemann-integroituva suorakaiteen \(D\) yli, jos on olemassa \(I \in \mathbb {R}\) siten että kaikilla \(\epsilon \mathbin {{\gt}}0\) on olemassa \(\delta \mathbin {{\gt}}0\) siten että kaikilla \(m, n \in \mathbb {N}_1\) ja \(\left\{ R_{i j} \right\} _{1 \le i \le m, 1 \le j \le n}\) joille \(\left\lVert \left\{ R_{i j} \right\} \right\rVert \mathbin {{\lt}}\delta \), niin kaikilla \(\left\{ \xi _{i j} \right\} _{1 \le i \le m, 1 \le j \le n}\) joille \(\xi _{i j} \in R_{i j}\) kaikilla \(i, j\), pätee \(|R(f, \left\{ R_{i, j} \right\} , \left\{ \xi _{i, j} \right\} )| \mathbin {{\lt}}\epsilon \).

Olkoon \(\left\{ R_{i j} \right\} \) suorakaiteen \(D\) ositus.

Jaon normilla \(\left\lVert \left\{ R_{i j} \right\} \right\rVert \) tarkoitetaan suorakaiteiden \(R_{i j}\) suurinta läpimittaa, eli

Olkoon \(S\) joukko.

Peite \(P\) on joukon \(S\) ositus, jos se koostuu epätyhjistä erillisistä joukoista. Täsmällisemmin,

• \(\emptyset \not\in P\)

• \(p_1 \cap p_2 = \emptyset \) kaikilla eri \(p_1, p_2 \in P\).

Olkoon \(S\) joukko.

Perhe \(P \subset \mathcal{P}(S)\) on joukon \(S\) peite, jos se koostuu \(S\):n osajoukoista, jotka yhdessä sisältävät kaikki \(S\) alkiot. Täsmällisemmin,

Joukot \(C_i \subset \mathbb {R}\) ovat pistevieraita jos leikkausjoukot \(\mathbb {C}_i \cap C_j = \emptyset \) kaikilla \(i \neq j\), lukuunottamatta äärellistä määrää "kulmapisteitä".

Huom: tämä kurssin käyttämä määritelmä on epäpätevä, ks. määritelmä 4.6

Olkoon \(A \subset \mathbb {R}^n\) joukko. Joukon \(A\) reuna \(\partial A\) on joukko

Joukot \(C_i\) (muuttujasta 4.5) ovat reunavieraita jos leikkausjoukot \(\text{int}\, C_i \cap \text{int}\, C_j = \emptyset \) kaikilla \(i \neq j\).

Olkoon \(S \subset X\).

\(S\) numeroituva peite \(C_i\) on \(S\) reunavieras ositus, jos \(C_i\) on reunavieras, ja lisäksi \(C_i \neq \emptyset \).

Joukot \(C_i\) ovat reunavieraita jos ja vain jos \(C_i \cap C_j \subset \partial C_i \cup \partial C_j\) kaikilla \(i \neq j\).

Olkoon \(\left\{ R_{i j} \right\} _{1 \le i \le m, 1 \le j \le n}\) suorakaiteen \(D\) ositus ja \(\left\{ \xi _{i j} \right\} \) siten, että \(\xi _{i j} \in R_{i j}\) kaikilla \(i\) ja \(j\).

Funktion \(f\) Riemannin summa

Olkoon \(A \subset X\).

\(A\):n sisäjoukko \(\text{int}\, A\) on \(A\):n sisäpisteiden joukko.

Olkoon \(A \subset X\).

Piste \(x\) on joukon \(A\) sisäpiste, jos

missä \(B_d(x, r)\) on metrisen avaruuden \((X, d)\) avoin \(r\)-säteinen \(x\)-keskeinen kuula.

Joukon \(A\) sulkeuma on \(\overline{A} = A \cup \partial A\).

Olkoon \(a \leq b\) ja \(c \leq d\). Suorakaiteen \(R = [a, b] \times [c, d]\) läpimitta \(d(R) = \left((b - a)^2 + (d - c)^2\right)^{1/2}\).

Olkoon \(n, m \in \mathbb {N}_1\) ja \(D = [a, b] \times [c, d]\).

Suorakaiteen \(D\) ositus eli jako \(\left\{ R_{i j} \right\} _{1 \le i \le m, 1 \le j \le n}\) muodostuu välien \([a, b]\) ja \([c, d]\) osituksista: \(a = x_0 \mathbin {{\lt}}\dots \mathbin {{\lt}}x_m = b\), \(c = y_0 \mathbin {{\lt}}\dots \mathbin {{\lt}}y_n = d\), missä suorakaiteet \(R_{i j} = [x_{(i - 1)}, x_i] \times [y_{(j - 1)}, y_j]\) muodostavat joukon \(D\) reunavieraan osituksen.

Olkoon \(a \leq b\) ja \(c \leq d\). Suorakaiteen \(R = [a, b] \times [c, d]\) pinta-ala \(\Delta R := (b - a)(d - c)\).